FIG. MUESTREADOR MEDIANTE IMPULSOS
EQUIVALENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN
CERO
En el esquema del sistema digital de control dado
en la fig. , vemos que el sistema digital de control contiene
ambos partes discretas y. Al diseñar un sistema digital de
control, necesitamos encontrar el equivalente discreto de la
parte continua a fin de que sólo necesitamos ocuparnos de
funciones discretas.
Para esta técnica, consideraremos la siguiente
parte del sistema digital de control y reacomodaremos como
sigue.
REACOMODO DE LA PARTE CONTINUA
El reloj conectado a los convertidores d/a
y a/d suministra un pulso cada t segundos y cada d/a y a/d
envía una señal sólo cuando el pulso llega.
El propósito de tener este pulso es requerir a ese hzoh
(z) tiene sólo datos u(k) para trabajar y produzca
sólo datos de salida y(k); así, hzoh (z) puede ser
realizado como una función discreta.
La filosofía del diseño es la siguiente.
Queremos encontrar una función discreta hzoh (z) tal que
para una entrada constante al sistema continuo h(s), la salida
probada del sistema continuo corresponde a la salida discreta.
Supongamos que la señal u(k) representa una
porción de la señal de entrada. Hay técnicas
para tomar esta muestra u(k) y hacerla producir una
señal continua uhat(t). El boceto debajo muestra que la
uhat(t) es mantenida constante en u(k) sobre el intervalo
kt a (k + 1) T. Esta operación de mantener constante
uhat(t) sobre el tiempo de muestreo es llamado RETENEDOR DE
ORDEN CERO.
El retenedor de orden cero aplica la
señal uhat(t) que va a través de H2(s) y A/D para
producir la salida y(k) que será la misma señal
como si la señal continua u(t) pase a través de
H(s) para producir la salida continua y(t).
SEÑALES DIGITALES Y
CONTINUAS
Ahora volveremos a dibujar el
esquemática, considerando Hzoh (z) en lugar de la
porción continua.
DIAGRAMA DE BLOQUES CON UN RETENEDOR
DE ORDEN CERO
Colocando a Hzoh
(z), podemos diseñar sistemas digitales de control
ocupándose sólo funciones discretas.
NOTA: hay ciertos casos donde la respuesta
discreta no hace juego con la respuesta continua debido a un
circuito de agarre implementado en los sistemas digitales de
control.
UNIDAD II
Análisis
de sistemas de control en tiempo discreto (basado en el plano
z).
2.1.-TIPOS DE MUESTREO
Tipos de operaciones de
muestreo
1.- MUESTREO PERIODICO:
Es el que tine instantes de muestreo
espaciados de manera uniforme O tk= KT ( K= 0, 1, 2, 3,
4……) es el mas convencional.
2.-MUESTREO DE ORDEN
MULTIPLE:
Es el patron de los tk se repite
periodicamente, esto es tktr-tk es contante para toda
k.
3.-MUESTREO DE TAZA
MULTIPLE:
Se emplea en los sistemas de control en
lazos multiples que tienen constantes de tiempo diferentes. Es
recomendable tener diferentes periodos de muestreos en diferentes
trayectorias de realimentacion.
2.2.- RECONSTRUCCION DE SEÑALES
ORIGINALES A PARTIR DE SEÑALES MUESTREADAS.
Teorema de muestreo: si la frecuencia de muestreo es
suficientemente alta, comparada con la componente de mas alta
frecuencia que se incluye en la señal en tiempo continuo,
las caracteristicas de amplitud de la señal en tiempo
continuo se pueden preservar en la envolvente de la señal
muestreada.
Para reconstruir la señal original a partir de
una señal muestreada, existe una frecuencia minima que la
operación de muestreo debe satisfacer. Dicha frecuencia
minima se especifica en el teorema de muestreo.
Como se vio anteriormente, en el tema de
muestreo mediante impulso
2.3.- FUNCION DE
TRANSFERENCIA.
2.3.1.- DE IMPULSO.
La funcion de tranferencia del retenedor de
orden cero, involucra al muestreador de impulso
unitario.
Nos interesa la relacion que existe entre
la señal h(t) con x(t).
Consideremos al muestreador y retenedor de orden cero
como se vio en las graficas y supongase que la señal x(t)
es 0 para t < 0 entonces la salida h(t) esta relacionada como
sigue:
Sabemos que la transformada de laplace de una funcion
impulso es
A) ELEMENTOS DE CASCADA
Son señales que se observan en un
sistema de control muestreado.
Considere el sistema que se
muestra
A partir del diagrama se obtiene
U(s) =G(s) X*(s) Y(s) = H(s)
U*(s)
Al tomar la transformada de laplace
asterisco de cada una de las funciones se obtiene:
U*(s) =G*(s) X*(s)
Y* (s) = H* (s) U*(s)
Entonces:
Y* (s) = H* (s) [G*(s) X*(s)]
Acomodando la funcion queda:
Y* (s) = G*(s) H* (s) X*(s)
En terminos de la notacion de la
transformada Z se tiene:
B) SISTEMAS DE LAZO
CERRADO
En un sistema de lazo cerrado la existencia
o no de un muestreador de salida en el lazo, hace que el
comportamiento del sistema sea diferente
Observe que en el sistema, el error
actuante esta muestreado.
2.3.2.-SISTEMAS DE CONTROL
DIGITAL.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO EN
LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL
En la fig. A se muestra un diagrama de bloques de un
sistema de control digital. Aquí el muestreador, el
convertidor a/d, el controlador digital, el retenedor de orden
cero y el convertidor d/a producen una señal de control
u(t) en tiempo continuo (constante por pedazos)
para ser alimentada la planta. En la b se muestran las funciones
de transferencia de los bloques involucrados en el
sistema.
La función de transferencia del controlador
digital se muestra como g*d(s). En el sistema
real la computadora (controlador digital) resuelve una
ecuación en diferencias cuya relación
entrada-salida está dada mediante la función de
transferencia pulso
GD(z).
FIGURA A) DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA
DE CONTROL DIGITAL; B) DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE QUE
MUESTRA LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS BLOQUES
En el presente sistema la
señal de salid a c(t) se alimenta de
regreso para ser comparada con la señal de entrada
r(t).
La señal de error
e(t) = r(t) –
c(t) se muestrea, y la señal
analógica se convierte en digital a través de un
dispositivo a/d. La señal digital e(kt)
se alimenta al controlador digital, el cual opera sobre la
secuencia muestreada e(kt) de una manera
adecuada para producir la señal
m(kt).
Esta relación conveniente entre las
secuencias m(kt) Y e(kt) se
especifica mediante la función de transferencia pulso
GD(z) del controlador digital. [mediante la
selección adecuada de los polos y ceros de
GD(z), se puede generar un buen número
de características de entrada-salida.]
A) DE LAZO CERRADO
REDUCCION DE DIAGRAMAS DE BLOQUES.
El objetivo es hallar la funcion de transferencia de
datos muestreados en lazo cerrado de un grupo de subsistemas que
tienen una computadora en el lazo.
Para manipular diagramas a bloques para sistemas de
datos muestreados tomese en cuenta que:+
Las funciones del dominio s tienen que
multiplicarse antes de tomar la transformada Z.
Empleamos la notacion G1G2(s) para denotar
una sola funcion, que es G1(s) G2(s), despues de evaluar el
producto, en consecuencia :
FORMAS BASICAS DE DATOS MUESTREADOS
(SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS Y SUS TRANSFORMADAS
Z).
Con el uso de las formas basicas, podemos encontrar la
transformada z de los sistemas de control realimentados. Se ha
mostrado que cualquier sistema g(s), con entrada muestreada y
salida muestreada, como los que se vieron anteriormente, se
pueden representar como una funcion de transferencia de datos
muestreados g(z), entonces se busca efectuar manipulaciones de
diagramas de bloques que de por resultado subsitemas, asi como
todo el sistema con realimentacion que tenga entradas muestreadas
y salidas muestreadas. Entonces podemos hacer la transformacion a
funciones de transferencia de datos muestreados.
Ejemplo: encuentre la transformada z del
siguiente sistema
Una operación que se puede hacer es poner un
muestreador ¨ fantasma¨ a la salida de cualquier
subsistema que tenga una entrada muestreada, siempre que la
naturaleza de la señal enviada a cualquier otro subsistema
no cambie.
B)
Como podemos ver, colocamos un muestreador fantasma s4,
la justificacion para esto, desde luego, es que la salida del
sistema de datos muestreados solo se puede encontrar en los
instantes de muestreo de todos modos, y la señal no es
entrada a ningun otro bloque.
Otra operación que se puede efectuar, es sumar
los muetreadores ficticios s2 y s3 a la entrada a un punto suma,
cuya salida es muestreada. La justificacion para esta
operación es que la suma muestreada es equivalente a la
suma de entradas muestreadas, siempre que todos los muestreadores
esten sincronizados
C)
A continuacion mueva el muestreador S1 Y G(s) a la
derecha del punto de la union. El motivo para este movimiento es
obtener un muestreador a la entrada de G(s) H(s) para compararse
con b) del mismo modo, se compara el G(s) con el muestreador s1 a
la entrada y el muestreador s4 a la salida con la figura a). El
sistema en lazo cerrado tiene ahora una entrada muestreada y una
salida muestreada.
La G(s) H(s) son los muestreadores S1 y S3 se convierte
en GH(z) Y G(s) con los muestreadores S1 Y S4 , se convierte en
G(z).
D)
TAMBIEN CONVIRTIENDO R*(s) EN R(z) Y C*(s) EN C(z),
TENEMOS AHORA EL SISTEMA REPRESENTADO TOTALMENTE EN EL DOMINIO DE
Z
PODEMOS APLICAR LOS MODELOS BASICOS DE S
PARA Z NOS QUEDA:
CONFIGURACIONES TÍPICAS DE
SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO EN LAZO
CERRADO
B) CONTROLADOR PID DIGITAL
El esquema de
control pid analógico ha sido usado de manera exitosa en
muchos sistemas de control industrial por más de medio
siglo. El principio básico del esquema de control pid es
que actúa sobre la variable a ser manipulada a
través de una apropiada combinación de las tres
acciones de control: acción de control proporcional (donde
la acción de control es proporcional a la señal de
error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la
señal de realimentación); la acción de
control integral (donde la acción de control es
proporcional a la integral de la señal de error actuante)
y la acción de control derivativa (donde la acción
de control es proporcional a la derivada de la señal de
error actuante).
En situaciones donde muchas plantas se controlan
directamente mediante una sola computadora digital (como un
esquema de control en el que se controlan desde unos cuantos
lazos hasta cientos de éstos mediante un solo controlador
digital), la mayoría de los lazos de control se pueden
manipular mediante esquemas de control pid.
La acción de control pid en
controladores analógicos está dada por
Donde e(t) es la entrada al
controlador (señal de error actuante),
m(t) es la salida del controlador (señal
manipulada), K es la ganancia proporcional, Ti
es el tiempo integral (o tiempo de reajuste) y Td es el
tiempo derivativo (o tiempo de adelanto).
La función de transferencia pulso para el
controlador pid digital está dada por:
Nótese que la ganancia proporcional Kp
para el controlador pid digital es más pequeña que
la ganancia K para el controlador PID analógico
por un factor de KI /2.
FIGURA DIAGRAMA DE BLOQUES DE LA
REALIZACIÓN DEL ESQUEMA DE CONTROL PID EN LA FORMA DE
VELOCIDAD.
Las leyes de control lineales en la forma de acciones de
control pid, son básicas en controles digitales debido a
que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos
problemas prácticos de control, en particular a problemas
en control de procesos. Observe que, en los controladores
digitales, las leyes de control se pueden implementar
mediante software, y por lo tanto las restricciones de hardware
de los controladores pid se pueden ignorar por
completo.
2.4.-CONTROLADORES
Diseño de control en tiempo
discreto
El diseño en sistemas de control en
td, es similar en principio al diseño de sistemas en tc,
el objetivo del diseño como se vio anteriormente es
determinar el controlador para que el sistema tenga un
desempeño según las especificaciones, de hecho en
la mayoria de las situaciones el proceso controlado es el mismo
excepto en sistemas en td el controlador esta diseñado
para procesar datos digitales o muestreados.
Existen 2 tipos de diseño de un
sistema de control con controladores digitales:
1.- en cascada
2.-por realimentacion del estado
digital.
control digital en cascada.
CONTROL DIGITAL CON REALIMENTACION DE
ESTADO.
Hoy en dia el 100% de los controladores que funcionan en
la industria sondigitales, el siguiente esquema representa un
sistema de control digital tambien llamado por computador. (con
microcontrolador y microprocesador).
Ventajas del control por computador
respecto del control analógico:
Determine comunicación en red
(control centralizado)
Incorpora otras funciones, como:
-monitorización
–almacenamiento de variables (generaciones
de informes)
-incorporación de alarmas
-facil supervision
Permite controles mas avanzados que
requiere de calculos mas complejos.
-control basado en lógica
difusa
-controles no lineales
IMPLEMENTACION DIGITAL DEL CONTROLADOR
PID
Para poder implementar en un computador un controlador
pid continuo es necesario obtener una ecuación en
diferencias discreta a partir de la ec. Diferencial continua. Se
llama discretizacion a la accion de obtener un ecuación en
diferencias que aproxime el comportamiento de una ecuación
diferencial.
LA ECUACIÓN DIF. DE UN PID CONTINUO
LA APROXIMACION DISCRETA CONSISTE EN APROXIMAR LA
ECUACION DIFERENCIAL, OBTENIENDO u(KT) A PARTIR DE LOS VALORES DE
e(t) EN LOS PERIODOS DE MUESTREO.
La aproximacion de la derivada es:
Mientras que la integral se puede aproximar
como:
De esta forma se tendría:
La componente proporcional kp se implementa en forma
digital en una ganancia constante Kp, ya que una computadora o
procesador, tiene una longitud, de palabra finita la constante Kp
no puede realizarse con resolucion infinita
UNIDAD III
Diseño de
control en tiempo discreto
3.1 CONCEPTOS BASICOS.
El diseño en sistemas de control en td, es
similar en principio al diseño de sistemas en tc. El
objetivo del diseño como se vio anteriormente es
determinar el controlador para que el sistema tenga un
desempeño según las especificaciones. De hecho en
la mayoria de las situaciones el proceso controlado es el mismo,
excepto en sistemas en td, el controlador esta diseñado
para procesar datos digitales o muestreados.
3.2 CORRESPONDENCIA ENTRE PLANO "S" Y
"Z"
Las transferncias bilineales nos dan la capacidad de
aplicar nuestras tecnicas de analisis y diseño del plano
"s" al plano "z".
Las transformaciones bilineales de la forma
Estas se han deducido para obtener variables lineales en
S y Z. Diferentes valores de a, b, c y d se han deducido para
aplicaciones en particular y dan varios grados de precision
cuando se comparan las propiedades de las funciones continuas y
muestradas.
Vere mos como la transformacion bilineal que relaciona
los puntos del eje jw (IMAG) del plano S, con los puntos del
circulo unitario del plano Z. Además, la transferencia
relaciona puntos del semiplano derecho del plano "S" con puntos
fuera del circulo unitario del plano Z. Por ultimo, la
transformacion relaciona puntos del semiplano izquierdo del plano
S con puntos dentro del circulo unitario del plano Z.
3.3 ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE LAZO
CERRADO CON EL PLANO Z.
Criterios para la estabilidad.
1. Para que el sistema sea estable, los polos
en lazo cerrado o las raices de la ecuacion caracteristica
deben presentarse en el plano z dentro de circulo unitario.
Cualquier polo en lazo cerrado exterior al circuito unitario
hace inestable al sistema.2. Si un polo simple se presenta en z=1,
entonces el sistema se convierte en criticamente estable.
Tambien el sistema se convierte estable si un solo par de
polos complejos conjugados se presentan sobre el circulo
unitario en el plano z. Cualquier polo multiple en lazo
cerrado sobre el circuito unitario al sistema
inestable.3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la
estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados
en cualquier parte del plano z.
Entonces un sistema de control de lazo en tiempo dicreto
lineal e invariante con el tiempo de una entrada/una salida se
vuelve inestable si cualquiera de los polos en lazo cerrado se
presentan por fuera del circulo unitario o cualquier polo
multiple en lazo cerrado se presentan sobre el circulo unitario
del plano z.
La estabilidad del sistema se define como la
ecuacion:
Y puede determinarse por las lozalizaciones de los polos
en lazo cerrado en el plano Z como:
P (Z) = 1 + G H (Z) = 0
Ejemplo:
Determine la estabilidad del siguiente sistema de
control para K=1 y T=1
Aplicamos la funcion Z
FACTORIZO
ENCONTRAMOS LOS POLOS CON LA FORMULA
GENERAL
ANALISIS DE LA RESP. TRANS. Y
SU ESTADO PERMANENTE.
Definiciones de las especificaciones de la
respuesta transitoria.
En muchos casos productos las caracteristicas de
desempeño deseadas del sistema de control se espedifican
en terminos de cantidades en el dominio del tiempo.
Los sistemas que pueden almacenar energia no responden
instantaneamente y presentan respuestas transitorias cada vez que
esten sujetos a entradas o perturbaciones.
Con frecuencia, las caracteristicas de desempeño
de un sistema de control se especifican en terminos de la
respuesta transitoria para una entrada escalon unitario, puesto
que esta es facil de generar, si se conoce la respuesta a una
entrada a escalon, es matematicamente posible calcular la
respuesta para cualquier entrada.
La respuesta transitoria de un sistema de control
practico muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes
de alcanzar el estado estacionario al especificar la respuesta
transitoria de un sistema de control para una entrada escalon
unitario, es comun especificar lo siguiente.
1. Tiempo de retardo,
td2. Tiempo de salida, tr
3. Tiempo pico, tp
4. Sobre enlongacion,
mp5. Tiempo de asentamiento,
ts
Recordando…
El analisis de la respuesta transitoria de
1er. Y 2do. Orden
En los sistemas de 2do. Orden que esta
mucho mas enfocado a los controladores, debemos recordar los
terminos de l coeficiente de amortiguamiento
Wn= FRECUENCIA NATURAL rud/seg.
La ec. Estandar o la forma estandar del
sistema de 2do. Orden.
Ejemplo #1 en matlab: considere el siguiente sistema de
control en tiempo discreto definido por la sig.
Funcion:
OBTENGA LA RESP. TRANSITORIA A PARTIR DE UNA ENTRADA
ESCALÓN UNITARIO.
Num = [ 0 0.4673 -0.3393]: xlabel("K")
Den= [ 0 -1.5327 0.6607]; ylabel(´c(K)"
R = ones (1, 41);
V = [ 0 40 0 0.6 ];
Axis (V);
K = 0:40;
C = filter (num, den, r );
Plot (K, C "O")
Grid
Title ("Respuesta a un a Entrada escalón
Unitario")
EJEMPLO 2. Represente la respuesta transitoria de la
respuesta a un escalon unitario de un sistema cuya F.T.
ES:
1. TIEMPO DE RETARDO, td : ES EL TIEMPO
REQUERIDO PARA QUE LA RESPUESTA ALCANCE LA PRIMERA VEZ LA
MITAD DEL VALOR FINAL.2. TIEMPO DE SUBIDA, tr : ES EL TIEMPO
REQUERIDO PARA QUE LA RESPUESTA PASE DEL 10 AL 90%, DEL 5 AL
95% O DEL 0 AL 100% DE SU VALOR FINAL. PARA SISTEMAS
SOBREAMORTIGUADOS, SUELE USARSE EL TIEMPO DE LEVANTAMIENTO DE
10 A 90%.3. TIEMPO PICO, tp : TIEMPO REQUERIDO PARA QUE
LA RESPUESTA ALCANCE EL PRIMER PICO DE
SOBREELONGACION.4. SOBREENLONGACION MÁXIMA (PORCENTAJE)
Mp : ES EL MÁXIMO VALOR DEL PICO DE LA CURVA DE
RESPUESTA, MEDIDO A PARTIR DE LA UNIDAD. SI EL VALOR FINAL ES
ESTADO ESTACIONARIO DE LA RESPUESTA ES DIFERENTE DE LA
UNIDAD, ES FRECUENTE UTILIZAR EL PORCENTAJE DE
SONREENLONGACION MÁXIMA. SE DEFINE COMO:
La cantidad de sobreenlongacion máxima (en
porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del
sistema.
5. TIEMPO DE ASENTAMIENTO, ts : es el tiempo
que se requiere para que la curva de respuesta alcance un
rango alrededor del valor final del tamaño
especificado por el porcentaje absoluto del valor final, por
lo general del 2 ó 5%.
El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor
constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del
diseño del sistema en cuestion determinan que criterio de
error en porcente a utilizar.
Las especificaciones en el dominio del tiempo que se han
proporcionado son muy importantes, ya que todos los sistemas de
control son sistemas en el dominio del tiempo; es decir deben
presentar respuestas de tiempo aceptables, esto significa que el
sistema de control debe modificarse hasta que la respuesta
transitoria sea satisfactoria.
3.4.1 METODO BASADO EN LUGAR DE LAS
RAICES.
La construcción de las graficas del lugar de las
en el plano z son exactamente iguales a los del plano s. La unica
diferencia en los dibujos de estos 2 planos es la
interpretación de la region de estabilidad.
La ecuación catacteristica del lugar de las
raices, es muy parecida a la formula de la estabilidad
donde:
Grafique el lugar de las raices del siguiente
sistema
Num = [ 0 1 0.8760]; den = [1 -1.2543
0.2543];
V = [ -4 4 -4 4]; axis (V)
Rlocus (num, den);
Axis scales auto – ranged
Axis scales frozen
Grid title ("Lugar de las Raices").
3.4.2 METODO BASADO EN LA RESPUESTA A LA
FRECUENCIA.
Recuerde que
En un sistema estable en tiempo discreto lineal e
invariante con el tiempo.
Estos análisis se utilizan en sistemas
utópicos con una entrada de tipo sinoidal.
La entrada para un sistema.
3.4.3 METODO ANALÍTICO
Consiste en el diseño de controladores digitales
para un tiempo de asentamiento minimo con un error cero en estado
permanente.
Considere el siguiente sistema.
UNIDAD IV
Análisis
en el espacio de estado
4.1 CONCEPTOS.
Se basa en la descripción del sistema en terminos
de n- ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden,
que pueden combinarse en una ecuación matricial en
diferencias o diferencial de primer orden. La utilización
de la notación matricial simplifica en gran medida la
representación matemática de los sistemas de
ecuaciones.
4.2 ESPACIO DE ESTADO.
Estado o variables de estado en un sistema dinamico son
las que conforman el conjunto mas pequeño de variables que
determinan el estado dinámico. Para describir en su
totalidad el comportamiento de un sistema dinamico se requiere de
por lo menos h variables X1, X2, …….Xn de tal forma que una
vez dada la entrada para t ( to y el estado inicial en t = to y
el estado futuro del sisema queda anticipado, entonces las h
variables se consideran un conjunto de variables de
estado.
ESPACIO DE ESTADO. El espacio de n
dimensiones cuyos ejes coordenados estan formados por el eje X1,
EJE X2, ….. EJE Xu, esto se conoce como espacio de
estado.
VECTOR DE ESTADO. Si se necesitan n variables de estado
para describir completamente el comportamiento de un sistema
dado, entonces estas n variables de estado se pueden considerar
como los n componentes de un vector X. Un vector determina en
forma unica el estado X(t) del sistema para cualquier tiempo t(
to una vez dado el estado en t= to y especifica la entrada r(t)
para t(to
X(K) ES EL VECTOR DE ESTADO EN EL INSTANTE
K (DIMENSION n)
U(K) ES EL VECTOR DE ENTRADA EN EL INSTANTE
K (DIMENSIÓN m)
Y(K) ES EL VECTOR DE SALIDA EN EL INSTANTE
K (DIMENSIÓN p)
A(K) ES LA MATRIZ DEL SISTEMA (DE
DIMENSIÓN n x n)
B(K) ES LA MATRIZ DE ENTRADAS DEL SISTEMA
(DE DIMENSIÓN n x m)
C(K) ES LA MATRIZ DE SALIDAS DEL SISTEMA
(DE DIMENSIÓN p x n)
D(K) ES LA MATRIZ DE TRANSMISIÓN
DIRECTA ENTRADA-SALIDA (DE DIMENSIÓN p x m)
4.2.1 REPRESENTACIÓN PARA
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO.
Para sistemas lineales y no lineales en
tiempo discreto variantes en el tiempo, la ec. Se
describe
X (K + 1) = A(K) X (K) + 1B(K)
U(K)
Y (K) = C(K) X (K) + 1D(K) U (K)
Para sistemas variantes en el tiempo (la
varianza), la ec. De estado y de salida se describe
X (K + 1) = A X (K) + 1BU(K)
Y(K) = C X (K) + 1DU (K)
DONDE LAS MATRICES A, B, C y D SON CTES.
INDEPENDIENTES.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE
ESTADO
La primera observación necesaria para a
obtención de modelos de estado es que el posible conjunto
de variables de estado no es unico. Por ejemplo, si para un
sistema las variables {X1, X2 } determinan el estado, tambien
{X1, X2 + X2 } lo determinan, ya que conocido un conjunto es de
inmediata determinación el otro.
A partir de la funcion de transferencia en
T.D.
DONDE ai bi PUEDEN SER NULOS.
MATRIZ DE FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
Partiendo de la misma expresión de
la función de transferencia en z que en el caso anterior,
se realiza la descomposición en fracciones simples de la
forma:
En descomposición se obtiene el
siguiene modelo de estado.
ES DECIR
DISARETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES EN EL
ESPACIO DE ESTADO.
Todo espacio vectorial de dimension n queda
determinado por cualquier conjunto de n vectores de dicho espacio
que sean linealmente independientes.
Si (X1, X2 . . . . Xn ) son las componentes
de un vector respecto de una base:
X= X1 , U1 + X2 U2 + . . . + Xn
Un
Y se toma una segunda base formada por los
vectores linealmente independientes (t1 , t2 . . . Tn ) entonces
el vector X se puede expresar como:
X= W1 t1 + W2 t2 + . . . + Wn
tn
Denominado ? a la matriz formada por
componentes de los vectores de la nueva base respecto de la
antigua:
4.3.ANALISIS DE ESTABILIDAD DE
LIAPUNOV
SISTEMA ASINTOTICAMENTE ESTABLE
Encuentre del siguiente control digital el
modelo de estado por medio de la variable de Jordan.
Aplicar modelo básico
Aplicado a la variable de Jordan
Partiendo de la funcion de transferencia y
teniendo en cuenta los polos del sistema
UNIDAD V
Polos
CONCEPTOS.
Lo que se busca conocer en qué
sistemas es posible transferir el estado o la salida de un punto
a otro de sus respectivos espacios en un numero finito de
elementos de sus secuencias o si no puede alcanzar estos puntos
cuales son los mas alcanzables ( se refiere a los valores para la
estabilidad)
CONTROLABILIDAD
Se dice que un punto del espacio de estados
x, de un sistema discreto es controlable en [K0, K1 ] si existe
una secuencia de entrada, U(K0 ) U(K0 +1). . . U(K1 –1),
tal que transfiera el estado del sistema donde cualquier punto X0
de indice K0 A X1 de indice K1 finito.
La función de controlabilidad
está dada.
OBSERVABILIDAD.
Determina si las variables de estado no
influyan sobre la salida y por lo tanto no determinables mediante
el conocimiento de las mismas, y por otro lado en sistemas de
varias salidas, determinar cuales de estas son necesarias para
deducir es estado del sistema.
La observabilidad se define:
Se dice que un punto en el espacio de
estado, de un sistema discreto X0 es observable, si para todo
indice inicial K0 existe un indice K1 finito, tal que el
conocimiento de las secuencias de entrada u(K) y de salida Y(K),
PARA K0 = K = K1 permite el estado inicial X0 de indice
K0
Esta dada por la función
TRANSFORMACIONES.
Se utilizan para transformar ecuaciones en
el espacio de estado en formas canonicas.
Se considera primeramente la ecuacion de
estado en tiempo discreto y ecuacion de salida.
X(K + 1) = GX(K) + Hu(K)
Y(K) = CX(K) + Du(K)
Utilizando la forma canonica
controlable:
Utilizando la matriz de
transformación
UBICACION DE POLOS.
Todas las varibles de estado son medibles y
disponibles para la realimentacion. Si el sistema es
completamente controlable, entonces los polos del sistema en lazo
cerrado pueden ubicarse en cualquier localizacion deseada
mediante una realimentacion del estado, a traves de una matriz de
ganancia de realimentacion del estado apropiada.
Considerando la siguiente
ecuacion.
X (K + 1) = GX (K) + Hu(K)
X(K)= VECTOR DE ESTADO (DIMENSION) EN EL
K-ESIMO INSTANTE DE MUESTREO.
U(K) = SEÑAL DE CONTROL (ESCALAR)
ENEL K-ESIMO INSTANTE DE MUESTREO.
G = MATRIZ n X n
H = MATRIZ n X I
SISTEMA DE CONTROL LAZO CERRADO PARA
UBICACIÓN DE POLOS.
Autor:
Pablo Turmero
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